let z, z1, z3 be Complex; :: thesis: ( z1 <> 0 & Polynom (z1,0,z3,0,z) = 0 implies for s being Complex holds
( not s = - (z3 / z1) or z = 0 or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) ) )
assume that
A1: z1 <> 0 and
A2: Polynom (z1,0,z3,0,z) = 0 ; :: thesis: for s being Complex holds
( not s = - (z3 / z1) or z = 0 or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) )
let s be Complex; :: thesis: ( not s = - (z3 / z1) or z = 0 or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) )
0 = ((z1 * (z ^2)) + z3) * z by A2;
then A3: ( Polynom (z1,0,z3,z) = 0 or z = 0 ) ;
assume s = - (z3 / z1) ; :: thesis: ( z = 0 or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) )
hence ( z = 0 or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) + ((- (sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) * <i>) or z = (- (sqrt (((Re s) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2))) + ((sqrt (((- (Re s)) + (sqrt (((Re s) ^2) + ((Im s) ^2)))) / 2)) * <i>) ) by A1, A3, Th25; :: thesis: verum