let p, q, r be Element of PL-WFF ; :: thesis: (p '&' (q 'or' r)) <=> ((p '&' q) 'or' (p '&' r)) is tautology
let M be PLModel; :: according to PL_AXIOM:def 18 :: thesis: (SAT M) . ((p '&' (q 'or' r)) <=> ((p '&' q) 'or' (p '&' r))) = 1
thus (SAT M) . ((p '&' (q 'or' r)) <=> ((p '&' q) 'or' (p '&' r))) = ((SAT M) . (p '&' (q 'or' r))) <=> ((SAT M) . ((p '&' q) 'or' (p '&' r))) by semequ2
.= (((SAT M) . p) '&' ((SAT M) . (q 'or' r))) <=> ((SAT M) . ((p '&' q) 'or' (p '&' r))) by semcon2
.= (((SAT M) . p) '&' (((SAT M) . q) 'or' ((SAT M) . r))) <=> ((SAT M) . ((p '&' q) 'or' (p '&' r))) by semdis2
.= (((SAT M) . p) '&' (((SAT M) . q) 'or' ((SAT M) . r))) <=> (((SAT M) . (p '&' q)) 'or' ((SAT M) . (p '&' r))) by semdis2
.= (((SAT M) . p) '&' (((SAT M) . q) 'or' ((SAT M) . r))) <=> ((((SAT M) . p) '&' ((SAT M) . q)) 'or' ((SAT M) . (p '&' r))) by semcon2
.= (((SAT M) . p) '&' (((SAT M) . q) 'or' ((SAT M) . r))) <=> ((((SAT M) . p) '&' ((SAT M) . q)) 'or' (((SAT M) . p) '&' ((SAT M) . r))) by semcon2
.= 1 by th8 ; :: thesis: verum