let A be non empty set ; :: thesis: for a, b being Element of A
for o, o9 being Element of LinOrders A holds
( not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) & not ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) ) ) )
let a, b be Element of A; :: thesis: for o, o9 being Element of LinOrders A holds
( not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) & not ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) ) ) )
let o, o9 be Element of LinOrders A; :: thesis: ( not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) & not ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) ) ) )
thus not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) & not ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ) ; :: thesis: not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & not ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) ) )
assume A1: ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ; :: thesis: ( ( a <_ o,b implies a <_ o9,b ) & ( a <_ o9,b implies a <_ o,b ) & ( b <_ o,a implies b <_ o9,a ) & ( b <_ o9,a implies b <_ o,a ) )
hence ( a <_ o,b iff a <_ o9,b ) ; :: thesis: ( b <_ o,a iff b <_ o9,a )
hereby :: thesis: ( b <_ o9,a implies b <_ o,a )
assume A2: b <_ o,a ; :: thesis: b <_ o9,a
then a <> b by Th4;
hence b <_ o9,a by A1, A2, Th4, Th6; :: thesis: verum
end;
assume A3: b <_ o9,a ; :: thesis: b <_ o,a
then a <> b by Th4;
hence b <_ o,a by A1, A3, Th4, Th6; :: thesis: verum